+ Yorum Gönder
Okul ve Eğitim ve Bilgi Arşivi Forumunda doğal sayıların tanımı Konusunu Okuyorsunuz..
  1. Ziyaretçi

    doğal sayıların tanımı









  2. Dr Zeynep
    Bayan Üye





    doğal sayıların tanımı hakkında bilg


    … , 50, … devam eden sayılara doğal sayılar denir.
    Doğal sayılar kümesi D ile gösterilir.
    D = {0, 1, 2, 3, 4, 5, … }
    ikinin katı olan sayılara çift doğal sayılar, çift doğal sayılardan bir sonra gelen sayılara da tek doğal sayılar denir.
    n bir doğal sayı iken;
    Çift doğal sayılar : 2
    Tek doğal sayılar : 2 + 1 biçiminde gösterilir.
    Sayma Sayıları
    Sıfır dışındaki doğal sayılara sayma sayıları denir.
    S = {1, 2, 3, 4, 5, …}

    SAYI DOĞRUSU
    Doğal sayılar kümesinin elemanları sırası bozulmadan, bir doğrunun eşit aralıklardaki bazı noktaları ile bire-bir eşlenirse bu doğruya sayı doğrusu denir.

    ONLUK SAYMA DÜZENi
    Sayı sistemimiz onluk sayma düzenine göredir. Bu düzende çokluklar birlik, onluk, yüzlük, binlik gibi gruplara ayrılır. Bir doğal sayıda bu grupların yerleri bellidir. Örneğin, 2543 sayısı içinde 3 birlik, 4 onluk, 5 yüzlük, 2 binlik vardır.

    RAKAM
    Ona kadar olan doğal sayıları gösteren işaretlere rakam denir.
    Rakamlar kümesi : R = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} olarak tanımlanır.
    Onluk sistemde on tane rakam kullanılır.

    BASAMAK DEĞERi
    Rakamların sayı içinde bulundukları basamağa göre aldıkları değerlere basamak değeri ya da bağıl değer denir.
    Bir sayının rakamlarının basamak değerleri toplamı sayının kendisini verir.

    SAYI DEĞERi
    Rakamların sayı içindeki basamak değerleri gözönüne alınmadan tek başına gösterdiği değere sayı değeri ya da mutlak değeri denir.

    ÇÖZÜMLEME
    Bir sayının içinde kaç tane birlik, kaç tane onluk, kaç tane yüzlük, kaç tane binlik, … varsa bunları ayırarak toplam biçiminde yazmaya çözümleme denir.

    2345 = 1000 + 1000 + 100 + 100 + 100 +
    10 + 10 + 10 + 10 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1

    GRUPLAMA
    Sayıları basamak değerlerinin toplamı biçimde yazmaya gruplama denir.

    2345 = 2000 + 300 + 40 + 5 veya
    = 2 binlik + 3 yüzlük + 4 onluk + 5 birlik

    SAYILARIN ÜSLÜ BiÇiMDE GÖSTERiLMESi
    ÜSLÜ SAYILARIN OKUNUŞU
    4 4 üssü 2 (4′ün karesi, 4′ün ikinci kuvveti)
    5 5 üssü 3 (5′in kübü, 5′in üçüncü kuvveti)
    3 3 üssü 4 (3′ün dördüncü kuvveti)

    ÜSSÜN ANLAMI
    Üs tabanın kendisi ile kaç kez çarpılacağını gösterir.

    10 = 10 x 10 = 100
    5 = 5 x 5 x 5 = 125
    4 = 4 x 4 x 4 x 4 = 256
    3 = 3 x 3 x 3 x 3 x 3 = 243
    2 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 64

    ÜSLÜ SAYILARIN ÖZELLiKLERi
    Bir sayıda üs yazılmamışsa üs 1 dir. 3=3, 7=7, 10=10, 15=15
    Üssü 0 olan sayı 1′e eşittir. 80=1, 9=1, 160=1, 0=1
    Üssü 1 olan sayı kendisine eşittir. 7=7, 1000=1000, 64=64, 1=1
    1 sayısının bütün kuvvetleri 1′e eşittir. 1=1, 1=1, 1=1
    Tabanları aynı olan üslü sayılar çarpılırken; ortak taban yazılır, üsler toplanıp bir tek üs olarak yazılır.

    ÜSLÜ BiÇiMDE ÇÖZÜMLEME
    Bir sayı üslü biçimde çözümlenirken basamak değeri 10′un üssü şeklinde yazılır.

    5679 = (5 x 1000) + (6 x 100) + (7 x 10) + (9 x 1)
    =(5 x 10) + (6 x 10) + (7 x 10) + (9 x 1)

    DOĞAL SAYILARDA SIRALAMA
    Sayı doğrusu üzerindeki her doğal sayı sağındaki sayıdan küçük solundaki sayıdan büyüktür. Doğal sayılar sıralanırken aralarına küçük ( < ) veya büyük ( > ) işareti konur.

    Küçük < Büyük
    Büyük > Küçük

    işaretinin sivri ucuyla gösterdiği sayı diğer taraftaki sayıdan küçüktür.

    DÖRT iŞLEM
    DOĞAL SAYILARDA TOPLAMA
    AB = olmak üzere, (AB) kümesinin eleman sayısına toplama denir.
    A={1,2} ve B={3, 4, 5} ise
    s(A) + s(B) = s(AB) = 2 + 4 = 6
    Toplama işleminde toplanan sayıların herbirine terim denir. işlemin sonucuna da toplam denir.
    Toplama işlemi, ileriye doğru saymanın kısa yoldan yapılışıdır. Aynı türden ve birimleri aynı olan çokluklar toplanabilir.

    TOPLAMA iŞLEMiNiN ÖZELLiKLERi
    KAPALILIK ÖZELLiĞi
    iki doğal sayının toplamı yine bir doğal sayıdır. Buna kapalılık özelliği denir.

    3D, 4D için 3 + 4 = 7D dir.
    9D, 13D için 9 + 13 = 22D dir.
    aD, bD için (a + b)D dir.

    DEĞiŞME ÖZELLiĞi
    Toplama işleminde terimlerin yerleri değiştirilirse toplam değişmez. Buna toplamada değişme özelliği denir.
    3 + 5 = 8 = 5 + 3
    aD, bD ise; a + b=b + a dir.

    BiRLEŞME ÖZELLiĞi
    Toplama işleminde terimler ikişer ikişer gruplandırırsa toplam değişmez. Bu özelliğe
    toplama işleminin birleşme özelliği denir.

    3 + (4 + 6) = (3 + 4) + 6 3 + 10 = 7 + 6 13 = 13
    aD, bD, cD ise (a + b) + c = a + (b + c) dir.

    Çok terimli toplama işlemlerinde terimler kendi aralarında gruplandırılarak işlem kolaylığı sağlanır.

    ETKiSiZ (BiRiM) ELEMAN
    Sıfır ile bir doğal sayının toplamı o doğal sayıya eşittir.

    5 + 0 = 5
    0 + 6 = 6

    Doğal sayılar kümesinde toplama işleminin etkisiz elemanı 0′dır.

    DOĞAL SAYILARDA ÇIKARMA
    A = {a,b,c,d,e} B = {d,e}
    s(A) = 5 ve s(B) = 2 dir.
    s(A) – s(B) = s(C)
    5 – 2 = 3 olarak gösterilir. Burada 5 : eksilen; 2 : çıkan 3 : fark olarak adlandırılır.

    B A ise A – B kümesinin eleman sayısına A ve B kümelerinin eleman sayılarının farkı denir. Bu farkı bulmak için yapılan işleme çıkarma işlemi adı verilir.

    Çıkarma geriye doğru saymanın kısa yapılışıdır. Sağlaması; a-b=c ise a=b + c olacak şekilde yapılır. Çıkarma işlemi toplamanın tersidir.

    ÇIKARMA iŞLEMiNiN ÖZELLiKLERi
    Kapalılık özelliği yoktur. 5D ve 6D için; 5-6 doğal sayı değildir.
    Değişme özelliği yoktur. 6D ve 2D için; 6-2=4D; 2-6 doğal sayı değildir.
    Birleşme özelliği yoktur. 7-(5-2) (7-5)-2 7-3 2-2 4 0
    Doğal sayılar kümesinde çıkarma işlemine göre etkisiz (birim) eleman yoktur. 3-0=3 olmakla beraber 0-3 3′tür.

    DOĞAL SAYILARDA ÇARPMA
    Elemanlarının sayısı bilinen A ve B kümeleri için s(A)=a, s(B)=b ve s(A ) x s( B)=m ise, m doğal sayısına a ile b’nin çarpımı denir. m=a x b biçiminde gösterilir. Çarpma işareti ( x ) ya da( . )’ dır.

    ÇARPMA iŞLEMiNiN ÖZELLiKLERi
    KAPALILIK ÖZELLiĞi
    iki doğal sayının çarpımı yine bir doğal sayıdır. Bu özelliğe doğal sayılar kümesi çarpma işlemine göre kapalıdır denir.

    DEĞiŞME ÖZELLiĞi
    Bir çarpma işleminde çarpanların yerleri değiştirilirse çarpım değişmez. Bu duruma çarpmanın değişme özelliği denir.

    4 x 5 = 20 5 x 4 = 20 4 x 5 = 5 x 4′tür.
    aD, bD için; a x b = b x a ‘dır.

    BiRLEŞME ÖZELLiĞi
    Çarpma işleminde terimler ikişer ikişer gruplandırılarak çarpılırsa çarpım değişmez. Bu özelliğe çarpma işleminin birleşme özelliği denir.

    4D, 5D, 2D için
    4 x (5 x 2) = (4 x 5) x 2 4 x 10=20 x 2; 40=40′tır.

    ETKiSiZ (BiRiM) ELEMAN
    Bir sayının 1 ile çarpımı kendisine eşittir. 1 sayısı çarpma işlemini etkilemez. 1 sayısına çarpma işleminin etkisiz (birim) elemanı denir.

    1 x 5=5 5 x 1=5 5 x 1=1 x 5=5′dir.
    aD için a x 1=1 x a=a ‘dır.

    YUTAN ELEMAN
    Bir sayının sıfır ile çarpımı sıfıra eşittir. Bu nedenle 0 sayısına çarpma işleminde yutan eleman denir.

    4 x 0=0 0 x 4=0 4 x 0=0 x 4=0 ‘dır.
    aD için 0 x a=a x 0=0 ‘dır.

    ÇARPMANIN TOPLAMA VE ÇIKARMA ÜZERiNE DAĞILMA ÖZELLiĞi
    aD, bD, cD için a x (b + c)=(a x b) + (a x c) ve
    aD, bD, cD için a x (b-c)=(a x b) – (a x c) ‘dir.
    Bu özelliğe, çarpmanın toplama ya da çıkarma üzerine dağılma özelliği denir.

    ÇARPMADA KOLAYLIKLAR
    Bir sayıyı 10, 100, 1000, … ile çarpmak için, sayının sağına bir, iki, üç, … sıfır yazılır.

    14 x 10 = 140
    16 x 100 = 1600
    22 x 1000 = 22000
    7 x 10000 = 70000
    Bir sayıyı 25 ile çarpmak için, sayı 100 ile çarpılır. Çarpım 4′e bölünür.

    25 x 36=(36 x 100)/4=900
    Bir sayı 50 ile çarpılırken, sayı 100′le çarpılır, çarpım 2′ye bölünür.

    78 x 50=(78 x 100)/2=7800/2=3200

    Bir sayı 5′le çarpılırken, sayı 10′la çarpılır sonra 2′ye bölünür.

    89 x 5=(89 x 10)/2=890/2=445
    Bir sayı 9′la çarpılırken, sayı 10′la çarpılır, çarpımdan sayının kendisi çıkarılır.

    56 x 9=(56 x 10)-56, 560-56=504

    DOĞAL SAYILARDA BÖLME
    aD, bD ve b0 olmak üzere, a x b=c olarak şekilde bir c doğal sayısı varsa, c sayısına a’nın b’ye bölümü denir. a/b=c veya a:b=c olarak gösterilir.

    BÖLMENiN SAĞLAMASI
    Sağlama işlemi, Bölünen = (bölen x bölüm) + kalan eşitliğiyle yapılır.

    Çarpma ve bölme işlemleri birbirinin tersidir.

    BÖLME iŞLEMiNiN ÖZELLiKLERi
    Bölme işleminin doğal sayılarda kapalılık özelliği yoktur.

    4D, 3D için 4/3=doğal sayı değildir.

    Bölme işleminin doğal sayılarda değişme özelliği yoktur.

    5D, 15D için, 15/5 5/15

    Doğal sayılarda bölme işleminin birleşme özelliği yoktur.

    (24/4)/2 24/(4/2) 6/2 24/2 3 12
    Doğal sayılar kümesinde bölme işleminin etkisiz elemanı yoktur.
    2/1 1/2 2 0,5
    Bir doğal sayının 1′e bölümü kendisine eşittir.
    aD için a/1=a dır. 1/1=1, 39/1=39, 3/1=3, 101/1=101
    Sı fırın (0) bir sayma sayısına bölümü sıfırdır.
    0/a=0 ‘dır. 0/4=0, 0/100=0, 0/15=0
    0 hariç, bir doğal sayının kendisine bölümü 1′e eşittir.
    aD için a/a=1 ‘dir. 6/6=1, 109/109=1, 10/10=1, 88/88=1
    Bir doğal sayı sıfıra bölünemez.
    5/0=tanımsız, 12/0=tanımsız
    Bir sayıyı 10, 100, 1000 … ile bölmek

    10′a bölerken bir sıfır silinir. 400/10 = 40
    100′e bölerken iki sıfır silinir. 200/100 = 2
    1000′e bölerken üç sıfır silinir. 3000/1000 = 3




+ Yorum Gönder